באוניברסיטה חייב בגרות מלאה?

כן. אם אין אז כמובן שאפשר לקחת קורסים ולהשלים.

כן.
כמעט כולן מבקשות.

למיטב ידיעתי, מלבד האוניברסיטה הפתוחה (שאין לה תנאי קבלה כלל), כל האוניברסיטאות כוללות תעודת בגרות מלאה בתנאי היסוד שלהם.