3 תשובות
אין לזה הסבר ככה זה זה חוק
לפי הגדרה של חיבור וכפל של מספרים רציונליים, ככה זה הוגדר, וזה הוגדר בצורה שמתאימה גם לחיבור וכפל מספרים שלמים שהוגדר קודם לכן.
אם למשל ארצה לחבר
2 + 3
אז אפשר להתייחס אליהם כאל שברים
2/1 + 3/1
והחיבור מתקיים כמו מקודם.
אותו דבר לגבי הכפל.
לאחר שהגדירו חיבור וכפל של מספרים שלמים, הגדירו את החיבור והכפל של מספרים רציונליים
בהינתן שני מספרים רציונלים a/b ו- c/d כאשר a,b,c,d מספרים שלמים, נגדיר
חיבור
i. a/b + c/d = (ad+cb)/bd
כפל
(ii. a/b * c/d / (a*c)/(b*d
נשים לב שפעולות אלו כפי שהוגדרו שומרות על פעולות הכפל והחיבור של מספרים שלמים.
מתקיימים תנאים דומים לאלו של המספרים השלמים, כלומר בהינתן מספרים רציונליים m,n,k אזי מתקיימים:
1. חילוף
m+n = n+m
m*n = n*m
2. קיבוץ
k+(m+n) = (k+m)+n
k*(m*n) = (k*m)*n
3. פעולת החיבור באפס עדיין שומרת על המספר
m+0 = m
4. פעולת הכפל ב- 1 עדיין שומרת על המספר
m*1 = m
5. לכל מספר רציונלי m קיים מספר נגדי 'm כך שמתקיים m+m' = 0
6. לכל מספר רציונלי m השונה מאפס קיים מספר הופכי ''m כך שמתקיים m*m'' = 1
7. פילוג
k*(m+n) = k*m+k*n
מה שכתוב למעלה אולי נראה טריוויאלי אבל צריך להוכיח שזה באמת מתקיים, כלומר צריך לכתוב את המספרים הרציונליים בצורה המלאה שלהם, למשל m = a/b , n = c/d , k = e/f
ואז לבדוק שאכן השוויונות מתקיימים.
אני אתן שתי הוכחות לדוגמה.
1. חילוף בחיבור
נרצה להוכיח m + n = n + m
נחבר את אגף שמאל לפי ההגדרה של חיבור ולפי הצורה המלאה של המספרים m = a/b , n = c/d
נקבל ad+cb)/bd)
נחבר את אגף ימין ונקבל
cb+ad)/db)
זה נראה ממש דומה למה שקיבלנו למעלה, ואכן מכיוון שמתקיים חילוף במספרים השלמים שהם a,b,c,d נוכל לכתוב כלומר cb+ad=ad+cb וגם db=bd אז נקבל
cb+ad)/db = (ad+cb)/bd)
ולכן השוויון מתקיים
5. לכל מספר רציונלי m קיים מספר 'm כך שמתקיים
m + m' = 0
אם ניקח מספר כללי m = a/b אס נגדיר את המספר 'm להיות m' = (-a)/b כאשר (a-) הוא המספר הנגדי למספר השלם a ,נחבר ונקבל:
a/b + (-a)/b = (a*b+(-a)*b)/bb
נוכל להשתמש בפילוג שמתקיים עבור המספרים השלמים a,b ולכן מתקיים
a*b+(-a)*b = (a+ -a)*b = 0*b = 0
ולכן נקבל 0, עדיין צריך להוכיח שאפס חלקי משהו זה עדיין אפס, אבל זה כבר לא כזה נורא.
בהצלחה !
אם למשל ארצה לחבר
2 + 3
אז אפשר להתייחס אליהם כאל שברים
2/1 + 3/1
והחיבור מתקיים כמו מקודם.
אותו דבר לגבי הכפל.
לאחר שהגדירו חיבור וכפל של מספרים שלמים, הגדירו את החיבור והכפל של מספרים רציונליים
בהינתן שני מספרים רציונלים a/b ו- c/d כאשר a,b,c,d מספרים שלמים, נגדיר
חיבור
i. a/b + c/d = (ad+cb)/bd
כפל
(ii. a/b * c/d / (a*c)/(b*d
נשים לב שפעולות אלו כפי שהוגדרו שומרות על פעולות הכפל והחיבור של מספרים שלמים.
מתקיימים תנאים דומים לאלו של המספרים השלמים, כלומר בהינתן מספרים רציונליים m,n,k אזי מתקיימים:
1. חילוף
m+n = n+m
m*n = n*m
2. קיבוץ
k+(m+n) = (k+m)+n
k*(m*n) = (k*m)*n
3. פעולת החיבור באפס עדיין שומרת על המספר
m+0 = m
4. פעולת הכפל ב- 1 עדיין שומרת על המספר
m*1 = m
5. לכל מספר רציונלי m קיים מספר נגדי 'm כך שמתקיים m+m' = 0
6. לכל מספר רציונלי m השונה מאפס קיים מספר הופכי ''m כך שמתקיים m*m'' = 1
7. פילוג
k*(m+n) = k*m+k*n
מה שכתוב למעלה אולי נראה טריוויאלי אבל צריך להוכיח שזה באמת מתקיים, כלומר צריך לכתוב את המספרים הרציונליים בצורה המלאה שלהם, למשל m = a/b , n = c/d , k = e/f
ואז לבדוק שאכן השוויונות מתקיימים.
אני אתן שתי הוכחות לדוגמה.
1. חילוף בחיבור
נרצה להוכיח m + n = n + m
נחבר את אגף שמאל לפי ההגדרה של חיבור ולפי הצורה המלאה של המספרים m = a/b , n = c/d
נקבל ad+cb)/bd)
נחבר את אגף ימין ונקבל
cb+ad)/db)
זה נראה ממש דומה למה שקיבלנו למעלה, ואכן מכיוון שמתקיים חילוף במספרים השלמים שהם a,b,c,d נוכל לכתוב כלומר cb+ad=ad+cb וגם db=bd אז נקבל
cb+ad)/db = (ad+cb)/bd)
ולכן השוויון מתקיים
5. לכל מספר רציונלי m קיים מספר 'm כך שמתקיים
m + m' = 0
אם ניקח מספר כללי m = a/b אס נגדיר את המספר 'm להיות m' = (-a)/b כאשר (a-) הוא המספר הנגדי למספר השלם a ,נחבר ונקבל:
a/b + (-a)/b = (a*b+(-a)*b)/bb
נוכל להשתמש בפילוג שמתקיים עבור המספרים השלמים a,b ולכן מתקיים
a*b+(-a)*b = (a+ -a)*b = 0*b = 0
ולכן נקבל 0, עדיין צריך להוכיח שאפס חלקי משהו זה עדיין אפס, אבל זה כבר לא כזה נורא.
בהצלחה !
תנסי לעשות חיבור שברים בלי גורם משותף, והתוצאה שתקבלי תהא שגוייה.
באותו הנושא: