איך פותרים את המשוואה הזאת? בבקשה זה דחוף

y=7-2x
7x-14+4x=19
11x=33
x=3

y+6=7
y=1

2x + y = 7
7x - 2y = 19

השוואת מקדמים:
4x + 2y = 14
7x - 2y = 19

מחברים בין המשוואות:
4x + 7x + 2y - 2y = 14 + 19
11x = 33
x = 3

2x + y = 7
i 2 * 3 + y = 7
6 + y =
7

y = 1

תשובה: (1 ,3)

שואל השאלה:
איך הגעת ל14?

i. 2x + y = 7
ii. 7x - 2y = 19
יש שתי שיטות עיקריות לפתרון מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים.
שיטה ראשונה בידוד והצבה: בשיטה זאת נרצה לבודד את אחד הנעלמים באחת מהמשוואות, כך נקבל ביטוי ששווה לנעלם באמצעות הנעלם השני. נציב זאת במשוואה השנייה וכך נקבל משוואה בנעלם אחד שאותה קל לפתור.
למשל בתרגיל הנוכחי נבודד את הנעלם y שנמצא במשוואה i
i. 2x + y = 7
נחסר 2x משני האגפים ונקבל
y = 7 - 2x
כעת קיבלנו ביטוי אחר לנעלם y ונוכל להציב זאת במשוואה ii
ii. 7x - 2y = 19
לאחר ההצבה נקבל
7x - 2(7 - 2x) = 19
נפתח סוגריים ונקבל
7x - 14 + 4x = 19
נחבר איברים דומים ונוסיף 14 לשני האגפים ונקבל
11x = 33
נחלק ב- 11 ונקבל
x = 3
כעת אנו יודעים את ערכו של x ונוכל להציב זאת באחת משתי המשוואות המקוריות ושוב לקבל משוואה בנעלם אחד y ולמצוא את ערכו, אך נשים לב שבשיטה זאת כבר בודדנו את y באחת המשוואת וקיבלנו ביטוי שלו על ידי x
y = 7 - 2x
ולכן יהיה פשוט יותר להציב את הערך שמצאנו במשוואה המבודדת
נקבל
(y = 7 - 2*(3
y = 7 - 6
y = 1
כלומר
x = 3 ו- y = 1
אני מציע כמובן להציב את הערכים שקיבלנו במשוואות המקוריות ולראות כי הן אכן פותרות. חבל לעשות דרך ארוכה ומפורטת ובסוף ליפול על טעות חישוב.
i. 2x + y = 7
ii. 7x - 2y = 19
נבדוק את משוואה i
i. 2*(3) + 1 = 7
נבדוק את משוואה ii
ii. 7*(3) - 2(1) = 19
ואכן זה הפתרון.

שיטה שניה לפתרון היא השוואת מקדמים וחיסור/חיבור של המשוואות
i. 2x + y = 7
ii. 7x - 2y = 19
בשיטה זו נרצה להשוות את אחד המקדמים של אחד הנעלמים בשני המשוואות ולאחר מכן לחסר או לחבר את המשוואות (ואני תכף אסביר מדוע אפשר בכלל לחבר משוואות)
נשים לב שבמשוואה i המקדם של y הוא 1 ובמשוואה ii המקדם של y הוא (2-) ולכן נכפול את שני האגפים של משוואה i ב- 2 ונקבל
i*. 4x + 2y = 14
את משוואה ii נשאיר כפי שהיא ונקבל בסך הכל את המערכת
i*. 4x + 2y = 14
ii. 7x - 2y = 19
כעת נשים לב שהמקדם של y בשתי המשוואות דיי דומה (נגדיים אחד לשני) ולכן אם נחבר את המשוואות בצורה הבאה: נחבר את אגף ימין לאגף ימין ואת אגף שמאל לאגף שמאל נקבל
4x + 2y) + (7x - 2) = 14 + 19)
למה הפעולה הזאת בכלל חוקית במתמטיקה?
הרי שבמשוואה כדי לשמור על השוויון יש לבצע את אותה פעולה על שני האגפים, למשל לכפול את שני האגפים ב- 2 או להוסיף לשני האגפים 10. בעצם זה מה שמתחבא פה בפעולה של "חיבור משוואות" הדרך האמיתית שזה עובד היא למשל לקחת את משוואה ii
ii. 7x - 2y = 19
כעת נוסיף 14 לשני האגפים ונקבל
7x - 2y + (14) = 19 + 14
כעת ניזכר במשוואה *i
i*. 4x + 2y = 14
כלומר המספר 14 שווה בעצם ל- 4x + 2y ולכן נוכל לרשום את זה במקום ה- 14 שבאגף שמאל לאחר שהצבנו ולקבל
7x - 2y + (4x + 2y) = 19 + 14
לאחר החיבור נקבל שה- y יצטמצם (ובגלל זה השווינו מקדמים) נקבל
11x = 33
כלומר x = 3
נציב באחת המשוואת המקוריות על מנת למצוא את y ונקבל y = 1
זה כמובן דומה לפתרון שקיבלנו בדרך הראשונה, אחרת משהו פה לא היה נכון.
בהצלחה !